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miércoles, 12 de junio de 2013

BLOQUE V. MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (M. C. M.) Y MÁXIMO COMÚN DIVISOR (M. C. D.)

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (M.C.M) Y MÁXIMO COMÚN DIVISOR (M.C.D)


Partiendo de dos o más números y por descomposición en factores primos, expresados como producto de factores primos, su mínimo común múltiplo será el resultado de multiplicar los factores comunes y no comunes elevados a la mayor potencia, por ejemplo el mcm de 72 y 50 será:
Divisores 50 72.svg

    \begin{array}{r|l} 
        72 & 2 \\
        36 & 2 \\
        18 & 2 \\
         9 & 3 \\
         3 & 3 \\
         1 & 
    \end{array}

     72 = 2^3 \cdot 3^2 \,

    \begin{array}{r|l} 
       50 & 2 \\
       25 & 5 \\
        5 & 5 \\
        1 & 
    \end{array}

     50 = 2 \cdot 5^2 \,
Tomando los factores comunes y no comunes con su mayor exponente, tenemos que:

   \operatorname{MCM} (72, 50) =
   2^3 \cdot 3^2 \cdot 5^2 =
   1800



Conociendo el máximo común divisor de dos números, se puede calcular el mínimo común múltiplo de ellos, que será el producto de ambos dividido entre su máximo común divisor.


   \operatorname{MCM}(a, b) =
   \frac {a \cdot b}{\operatorname{mcd}(a, b)}

Propiedades Básicas.
  • Si el producto de dos números lo dividimos por su máximo común divisor dicho cociente es el mínimo común múltiplo.
A y B que descompuestos en números primos será A=(p1·p2p3·p4 y B=(p1·p2p5·p6 donde si m.c.d. es (p1·p2) y el producto de A·B=(p1·p2p3·p4·(p1·p2p5·p6 donde vemos que (p1·p2) esta repetido dos veces, luego si dividimos ese total por (p1·p2) tendremos el total menor que contiene a A y B siendo su MCM
  • El mínimo común múltiplo de dos números, donde el menor divide al mayor, será el mayor. Es lógico ya que un múltiplo de ambos inferior al mayor sería imposible ya que no sería múltiplo del mayor.
  • El mínimo común múltiplo de dos números primos es el total de su multiplicación. Esto es lógico ya que su máximo común divisor es 1.
  • El mínimo común múltiplo de dos números compuestos será igual al cociente entre su producto y el m.c.d de ellos. Es evidente según la propiedad 1 de este tema.
  • El máximo común divisor de varios números está incluido en el mínimo común múltiplo.

APLICACIONES DEL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO

Suma de fracciones

El MCM se puede emplear para sumar o restar fracciones de distinto denominador, tomando el MCM de los denominadores de las fracciones, y convirtiéndolas en fracciones equivalentes que puedan ser sumadas. Véase el siguiente ejemplo:


   \frac {1}{6} + \frac {4}{33}
Para poder efectuar la suma, primero se debe buscar el mínimo común múltiplo de los denominadores (6 y 33)
Divisores 6 33.svg

    \begin{array}{r|l} 
        6 & 2 \\
        3 & 3 \\
        1 &
    \end{array}

     6 = 2 \cdot 3 \,

    \begin{array}{r|l} 
       33 & 3  \\
       11 & 11 \\
        1 & 
    \end{array}

     33 = 3 \cdot 11 \,
luego el mínimo común múltiplo de 6 y 33 es:


   \operatorname{MCM} (6,33)=
   2 \cdot 3 \cdot 11 =
   66

que corresponde al número 66; ambas fracciones tendrán como denominador 66, ahora sólo hay que hallar a cada fracción su fracción equivalente, con denominador 66 y será posible la suma:

   \cfrac {1}{6} + \frac {4}{33}
   \quad = \quad
   \cfrac {1}{6}  \cdot \cfrac {\cfrac{66}{6}}{\cfrac{66}{6}} \; + \;
   \cfrac {4}{33} \cdot \cfrac {\cfrac{66}{33}}{\cfrac{66}{33}}
   \quad = \quad
   \cfrac {1 \cdot \cfrac{66}{6}}{6 \cdot \cfrac{66}{6}} \; + \;
   \cfrac {4 \cdot \cfrac{66}{33}}{33 \cdot \cfrac{66}{33}}
   \quad = \quad
   \cfrac {1 \cdot \cfrac{66}{6}}{\cancel{6} \cdot \cfrac{66}{\cancel{6}}} \; + \;
   \cfrac {4 \cdot \cfrac{66}{33}}{\cancel{33} \cdot \cfrac{66}{\cancel{33}}}
   \quad =
operando las fracciones, podemos realizar la suma:

   \cfrac {1 \cdot 11}{66} + \frac {4 \cdot 2}{66}
   \quad = \quad
   \cfrac {11}{66} + \frac {8}{66}
   \quad = \quad
   \cfrac {19}{66}

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

El m.c.m. para dos expresiones algebraicas, corresponde a la expresión algebraica de menor coeficiente numérico y de menor grado que es divisible exactamente por cada una de las expresiones dadas. Esta teoría es de suma importancia para las fracciones y ecuaciones.

De esta forma el m.c.m. de  \ 4a y  \ 6a^2 es  \ 12a^2 igualmente para  \ 2x^2 , \ 6x^3  y  \ 9x^4 es  \ 18x^4.
Algoritmos de Calculo 
Para mas de dos números, un algoritmo es el siguiente:
  1. Descomponer los números en factores primos.
  2. Para cada factor, elegir entre todas las descomposiciones aquel factor con mayor exponente.
  3. Multiplicar todos los factores elegidos.
Por ejemplo, MCM(324,16,7,5) La descomposición de 324 es 22·34; la descomposición de 16 es: 24; la descomposición de 7 es 7 y la descomposición de 5 es 5. Por tanto, obtenemos el MCM: 24·34·7·5 = 45360.

martes, 11 de junio de 2013

BLOQUE IV CONVERTIR FRACCIONES A DECIMALES

Para convertir una Fracción en Decimal manualmente, sigue estos pasos:

Paso 1: Encuentra un número que puedas multiplicar por la parte de abajo de la fracción para hacer que sea 10, o 100, o 1000, o cualquier 1 seguido por varios 0s.
Paso 2: Multiplica también la parte de arriba por ese número.
Paso 3: Entonces escribe el número de arriba, poniendo la coma en el lugar correcto (un espacio desde la derecha por cada cero en el número de abajo)

Ejemplo 1: Expresar 3/4 como Decimal

Paso 1: Podemos multiplicar 4 por 25 para que sea 100

Paso 2: Multiplica el número de arriba también por 25:
×25
3 = 75
4100
×25
Paso 3: Escribe 75 con la coma a 2 espacios desde la derecha (porque 100 tiene 2 ceros);

Respuesta = 0.75

Ejemplo 2: Expresar 3/16 como Decimal

Paso 1: Tenemos que multiplicar 16 por 625 para que se vuelva 10,000

Paso 2: Multiplica el número de arriba también por 625:
×625
3 = 1,875
1610,000
×625
Paso 3: Escribe 1875 con la coma 4 espacios desde la derecha (porque 10,000 tiene 4 ceros);

Respuesta = 0.1875

Ejemplo 2: Expresar 1/3 como decimal

Paso 1: No hay manera de multiplicar 3 para que se vuelva 10 o 100 o cualquier potencia de 10, pero podemos calcular un decimal aproximado eligiendo un múltiplo, como por ejemplo, 333

Paso 2: Multiplica el número de arriba también por 333:
×333
1 = 333
3999
×333
Paso 3: Ahora, 999 está cerca de 1,000, así que escribiremos 333 con la coma a 3 espacios desde la derecha (porque 1,000 tiene 3 ceros):

Respuesta = 0.333 (¡¡preciso sólo hasta 3 decimales!!)

BLOQUE IV CONVERTIR DECIMALES A FRACCIONES

Para convertir un Decimal a una Fracción sigue estos pasos:

Paso 1: Escribe el decimal dividido por 1.
Paso 2: Multiplica los números de arriba y abajo por 10 una vez por cada número luego de la coma. (Por ejemplo, si hay dos números luego del decimal, multiplícalos por 100, si hay tres usa el 1000, etc.)
Paso 3: Simplifica (reduce) la fracción

Ejemplo 1: Expresar 0.75 como fracción

Paso 1: Escribe:
0.75
1
Paso 2: Multiplica el numero de abajo y el de arriba por 100 (porque hay 2 dígitos luego de la coma):
× 100
0.75=75
1100
× 100
(¿Ves como el número de arriba se convierte
en un entero?)

Paso 3: Simplifica la fracción:
÷ 25
75=3
1004
÷ 25

Respuesta = 3/4

Nota: ¡75/100 se llama una fracción decimal y 3/4 es llamada una fracción común !


Ejemplo 2: Expresa 0.625 como una fracción

Paso 1: escribe:
0.625
1
Paso 2: multiplica el número de arriba y el de abajo por 1.000 (había 3 dígitos luego de la coma así que es 10×10×10=1.000)
625
1,000

Paso 3: simplifica la fracción (me llevó dos pasos aquí):
÷ 25 ÷ 5
625=25=5
1.000408
÷ 25 ÷ 5

Respuesta = 5/8

Ejemplo 3: Expresa 0.333 como fracción

Paso 1: Escribe abajo:
0.333
1
Paso 2: Multiplica el número de arriba y el de abajo por 1000 (había tres dígitos luego de la coma así que es 10×10×10=1000)
333
1,000

Step 3: Simplifica la Fracción:

¡No se puede simplificar!

Respuesta = 333/1000



Pero una Nota Especial:

Si en realidad quieres expresar 0.333... (en otras palabras los 3 repitiéndose para siempre lo que se llama 3 periódico) entonces necesitas seguir un argumento especial. En este caso escribimos:

0.333...
1
Y entonces MULTIPLICAMOS ambos lados por 3:
× 3
0.333...=0.999...
13
× 3
Y 0.999... = 1 (¿Es así? - ver la discusión sobre 9 Periódico si estás más interesado), así que:

Respuesta = 1/3

BLOQUE IV CUERPOS GEOMÉTRICOS


Los cuerpos geométricos están por todos lados, entre muchos de los objetos que nos rodean día a día. Existen distintos tipos de cuerpos geométricos. Algunos cuerpos geométricos ruedan y otros no.

Propiedades de los cuerpos geométricos

Algunos cuerpos geométricos tienen bordes, unos tienen más y otros tienen menos. Los cuerpos redondos no tienen ningún borde y ruedan.

Otros cuerpos pueden quedarse apoyados en la mesa. Según como se los ubique, depende de la parte con la que se apoya.

Algunos cuerpos tienen caras. Hay cuerpos que tienen solamente caras, otros tienen algunas caras y algunos no tienen ninguna.


El cubo
Tiene seis caras cuadradas iguales y doce ARISTAS.

 




El Prisma
Es como el cubo, pero más alargado. Tiene doce aristas, ocho vértices y seis caras. Su base es cuadrada o rectangular.




 El Cono
Tiene una base redonda y un VÉRTICE. Puede rodar si se lo acuesta.



El Cilindro
Tiene dos bases redondas y también rueda.

 

La Esfera
El círculo es diferente a las otras figuras: no tiene lado ni vértice, tiene borde y región interior.



 

lunes, 10 de junio de 2013

BLOQUE III CONVERSIÓN DE UNIDADES

CONVERSIÓN DE UNIDADES



Conversión
Equivalencia o Factor
Implementación
Se utiliza
MilíMetros a Pulgadas
0.039370 Pulgadas = 1 MM
MM = Pulgadas / 0.039370
Cuando tengo Pulgadas y necesito Milímetros
Metros a Pulgadas
39.370 Pulgadas = 1 Metro
Pulgadas = Metros * 39.370
Cuando tengo Metros y necesito Pulgadas
Metros a Pies
3.2808 Pies = 1 Metro
Pies = Metros * 3.2808
Cuando tengo Metros y necesito Pies
Metros a Yardas
1.09361 Yardas= 1 Metro
Yardas = Metros * 1.09361
Cuando tengo Metros y necesito Yardas
Kilómetros a Pies
3,280.8 Pies = 1 Km
Pies = KM * 3280.8
Cuando tengo Kilómetros y necesito Pies
Kilómetros a Millas Terrestres
0.62137 MillasT = 1 Km
MillasT = KM * 0.62137
Tengo Kilómetros y necesito MillasTerrestres
Hilómetros a Millas Náuticas
0.53959 MillasN = 1 Km
MillasN = KM * 0.53959
Tengo Kilómetros y necesito MillasNáuticas

BLOQUE III PLANO CARTESIANO

PLANO CARTESIANO
El plano cartesiano es un sistema de coordenadas en el que los ejes se cortan en forma perpendicular. El eje horizontal es el de las abscisas y el vertical el de las ordenadas. ¿Para qué sirve un plano cartesiano?

Para empezar a hablar de funciones necesitamos primero poder ubicar puntos en el plano. Para eso usamos un sistema de coordenadas cartesianas en el que los ejes, sobre los que se marcan los puntos, se cortan en forma perpendicular dividiendo al plano en cuatro cuadrantes.

¿Cómo se ubican los puntos en el plano? Primero se ubica la primer componente, que es la que está a la izquierda de la coma (llamada abscisa) y luego la segunda, que se encuentra a la derecha de la coma y se llama ordenada.

El plano cartesiano tiene como finalidad describir la posición de puntos, los cuales se representan por sus coordenadas o pares ordenados. Las coordenadas se forman asociando un valor del eje de las "X" y uno de las "Y", respectivamente, esto indica que un punto se puede ubicar en el plano cartesiano con base en sus coordenadas, lo cual se representa como:

P (x, y)

El plano cartesiano está formado por dos rectas numéricas, una horizontal y otra vertical, que se cortan en un punto. La recta horizontal es llamada eje de las abscisas o de las equis (x), y la vertical, eje de las ordenadas o de las i griegas, (y); el punto donde se cortan recibe el nombre de origen. 





BLOQUE III LA MEDIA, LA MEDIANA Y LA MODA

LA MEDIA, LA MEDIANA Y LA MODA

El conjunto de datos que obtenemos al hacer cualquier encuesta o votación, podemos representarlo gráficamente, mediante un diagrama de barras o un gráfico de sectores, o bien mediante tres valores que llamamos media, mediana y moda.


LA MEDIA


Para hallar la media de un conjunto de datos, dividimos la suma de todos ellos entre el número de datos que hay.

Para poder calcular la media, los datos han de ser valores numéricos. No podemos, por ejemplo, hallar la media en un estudio que hemos hecho sobre el color de pelo de los alumnos de clase, pues moreno, rubio... son cualidades, no números. Veamos con un ejemplo cómo se calcula la media.

En la prueba de salto de longitud, los 22 alumnos de clase hemos obtenido los siguientes resultados aproximados:

170 cm – 160 cm – 150 cm – 170 cm – 160 cm – 160 cm – 170 cm – 150 cm – 190 cm – 160 cm – 170 cm – 180 cm – 160 cm – 180 cm – 190 cm – 200 cm – 190 cm – 180 cm – 160 cm – 170 cm – 180 cm – 190 cm

Hacemos el recuento de los datos. Los ordenamos de menor a mayor y vemos el número de veces que se ha dado cada salto:

150 - 150 – 160 - 160 - 160 - 160 - 160 - 160 – 170 – 170 – 170 – 170 – 170 – 180 – 180 – 180 – 180 – 190 – 190 – 190 – 190 - 200
https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj5JiyJVJ3UdofgdmCeZ3bL-TvpePtNq7oxF5L1htFwd-M16cH7kbe-4TTiS4qbhLELAoeaZQyQdbwccOSHXHuQkFSSgQNjL6Uo4cbjX6l55ijlZ6eowEDsoAtjliwcMYOLZhFiAbAjCiho/s320/Tabla+12+2T.bmp
La frecuencia absoluta es el número de veces que se da cada salto, y su suma ha de ser igual al número total de saltos: 2 + 6 + 5 + 4 + 4 + 1 = 22Ahora completamos la tabla con una nueva columna a la derecha en la que multiplicamos el valor del salto por su frecuencia absoluta:




https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhp-wenI-2sI8HSU1in4p6118oyhy_1JXeD2qkzfuSI6tss3YP_kCfhD7ETffxNYcfCB8w-BzpQzl_LeGkqfAVgUGFvbBZgAg-NsAnsPENVv5FgRWSXjV-8eGWIadS8btfcoLV0_VcSOfAG/s320/TABLA+13+2T.bmp

La suma de estos valores es la suma de todos los saltos:
300 + 960 + 850 + 720 + 760 + 200 = 3.790
Y la media de los saltos de longitud será:


https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgXQ5OJVfn87YzvaakrDOGgs_wSVachlQ5ZiLqIxErc3Tgj8dpxd9OCh-H3s7Xi0gn7B-0WzI3KkNa3jgYFrMLP6_Ck3IWVTpef8glOybW9s2xMK-H72moQdNYFa-JmEg91WnLdVhGLVbvd/s320/Tabla+14+2t.bmp
Vemos que la media no coincide con ninguno de los valores que se habían obtenido, es un valor no entero y comprendido entre dos de ellos: 170 cm y 180 cm.

LA MEDIANA

La mediana de un conjunto de datos ordenados es el valor que ocupa la posición central de ellos. Si el número de datos es impar, la mediana es el valor que ocupa la posición central. Si el número de datos es par, la mediana es igual a la media de los dos datos centrales.

En el ejemplo anterior, como el número de datos es par (son seis valores de la longitud del salto), la mediana será la media del tercer y cuarto valor:

https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjU6IT_d7ZEY2EAtw8XuaR8EFcm87dhHVBECH01MmT8PvMQIsWBTPZwjRc0Z7y4_hc2mQgkkGciPwWe-IPPnFLk4jWqloELaqjcC-_GYO8BH01lV95zKL6BXlHJqeBxvXe7JJ6O4BYoTp9s/s320/TABLA+15+2T.bmp
LA MODA
Llamamos moda de un conjunto de datos al valor que más se repite; o dicho de otra forma, el que tiene la mayor frecuencia absoluta de entre ellos.


En el ejemplo anterior, el valor con mayor frecuencia (el que más se repite) es el salto de 160 cm.
Si quieres, puedes practicar con el ejemplo siguiente.


En la prueba de natación de 100 metros libres, los tiempos aproximados obtenidos por los 22 alumnos de la clase han sido los siguientes:
150 s – 140 s – 130 s – 120 s – 140 s – 140 s – 160 s – 150 s – 130 s – 120 s – 130 s – 140 s – 130 s – 150 s – 140 s – 150 s – 160 s – 160 s – 160 s – 140 s – 150 s – 160 s



https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjvbFjwGO28CwfqMbkXVHFAcC5wwPQgO18aC1EYj4o16pPv-tom9rotHI8-51BQZGfiTxiEGa5OQC-T6gc494uv5Yoq1G8DVnr8WihdcLpcuPenmmxE7jjnST4zhiJ9s9lQOhh7fBsd3yPB/s320/TABLA+16+2T.bmp

La suma de todos los tiempos empleados en nadar los 100 metros libres es:


240 + 520 + 840 + 750 + 800 = 3.150
Y la media será:




https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjpAuNqAT6y-QqSmzSIQ-YKwbNAGovwPitLypgJlmeM9_jvhX2HG8-aiMMhwHbF6XFogeDfZ42JM9VDpMwrjqOgft94yHYul_MDGp66hq5zSBvQa8Fg5aw3rpUmO2mHnJfcY4oN8kHMvowv/s320/TABLA+17+2T.bmp

Puesto que el número de datos es impar (5), la mediana será el valor que ocupa la posición central, en este caso la tercera posición: 140 s.
La moda o valor que más se repite es 140 s, pues su frecuencia absoluta es la mayor, 6.